Berechnung eines Quaternions

Was ist ein Quaternion

Quaternionen sind ein Typ von Zahlen, genauso wie die ganzen Zahlen, gebrochenen Zahlen, reelle Zahlen usw. Ein Quaternion kann man zur Definition der Ausrichtung eines Objektes in einem Raum nutzen. Dazu braucht man die 4. Dimension.

Beschrieben und fortentwickelt wurden Quaternionen seit 1843 von Sir William Rowan Hamilton, weshalb sie manchmal auch als Hamilton-Zahlen bezeichnet werden. Olinde Rodriguez entdeckte sie bereits 1840. Auf Wikipedia und anderen Seiten findet Ihr viele weitere Informationen.

ABB-Roboter

Bei den ABB-Robotern wird ein Quaternion mit 4 reellen Zahlen (q1,q2,q3,q4) abgebildet, wobei das Objekt eine Länge von 1 hat. Diese müssen bei den Werkzeugdaten (tooldata), Nullpunkten (wobjectdata) sowie bei den einzelnen (geteachten) Positionen (robtarget) angegeben werden. Möchte man eine Ausrichtung geringfügig ändern, genügt es nicht, einen einzelnen Wert etwas zu verändern. Denn es gilt:


q1² + q2² + q3² + q4² = 1

Quellen: Quaternion auf de.wikipedia.org - RAPID Reference Manual from ABB

Warum so kompliziert

Quaternionen werden bei Robotern, Satelitten, Simulationssoftware, grafisch aufwendige Animationen u.a. eingesetzt. Oft müssen mehrere im Raum befindliche Orientierungen miteinander verrechnet (multipliziert) werden, um die resultierende Orientierung zu erhalten. Macht man das mit trigonometrischen Funktionen, ist der Rechenaufwand der Rechner erheblich höher als die Nutzung von Quaternionen.

Berechnung von q1, q2, q3, q4

Notizen

Schaut man in die positive Richtung der Achse und dreht das Koordinatensystem im Uhrzeigersinn, muss ein positiver Winkel eingegeben werden.

Wenn man um mehrere Achsen dreht, muss beachtet werden, dass immer nach dem Grundkoordinatensystem gedreht wird.

Winkel um X-Achse Grad
Winkel um Y-Achse Grad
Winkel um Z-Achse Grad

neue X-Achse X1 1 X2 0 X3 0
neue Y-Achse Y1 0 Y2 1 Y3 0
neue Z-Achse Z1 0 Z2 0 Z3 1
q1 1
q2 0
q3 0
q4 0

Prüfung

Die Prüfung war erfolgreich.

1² + 0² + 0² + 0² = 1

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